利用函數(shù)凸性證明不等式
關(guān)鍵詞：函數(shù)凸性 凸函數(shù) 不等式證明
摘要：目的不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛,地位舉足輕重,正確使用不等式可使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化,由于它的應(yīng)用方法靈活、抽象、邏輯性較強(qiáng),所以不易掌握。而在不等式的證明中,有些看似復(fù)雜的問題,利用函數(shù)的凸性可以很輕松地解決。方法從解析定義、幾何解釋和直觀描述性定義3個(gè)方面介紹凸函數(shù)定義,再揭示凸函數(shù)的判定定理和性質(zhì),其中重點(diǎn)把握凸函數(shù)的Jensen不等式,在前述內(nèi)容的基礎(chǔ)上建立凸函數(shù)框架統(tǒng)一證明初等不等式,并推證一些著名不等式。結(jié)果通過舉例的方式,巧妙地構(gòu)造凸函數(shù),利用函數(shù)凸性加以證明,確實(shí)使大部分不等式的證明更加簡潔明了。結(jié)論在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,利用函數(shù)的單調(diào)性給出了特殊函數(shù)不等式的證明方法,使復(fù)雜問題簡單化,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易接受,并增加學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。但不等式的證明方法繁多,難度、技巧性都很大,比如導(dǎo)數(shù)定義法、拉格朗日中值定理法、冪級(jí)數(shù)展開法等,把應(yīng)用這些方法證明不等式和利用函數(shù)凸性證明不等式結(jié)合起來,相互補(bǔ)充,不斷總結(jié)歸納,可以拓寬知識(shí)面,提升解題能力。
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