導言：作為寫作愛好者，不可錯過為您精心挑選的10篇等腰三角形的性質(zhì)，它們將為您的寫作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內(nèi)容能為您提供靈感和參考。

篇1

中線及頂角平分線三線合一的性質(zhì)，并能運用

它們進行有關的論證和計算。

2、理解等腰三角形和等邊三角形性質(zhì)定理之間

的聯(lián)系。

(2)能力目標：1、定理的引入培養(yǎng)學生對命題的抽象概括能力，

加強發(fā)散思維的訓練。

2、定理的證明培養(yǎng)大膽創(chuàng)新、敢于求異、勇于

探索的精神和能力，形成良好的思維品質(zhì)。

3、定理的應用，培養(yǎng)學生進行獨立思考，提高獨

立解決問題的能力。

(3)情感目標：在教學過程中,引導學生進行規(guī)律的再發(fā)現(xiàn)，激發(fā)

學生的審美情感，與現(xiàn)實生活有關的實際問題使

學生認識到數(shù)學對于外部世界的完善與和諧，使

他們有效地獲取真知，發(fā)展理性。

教學重點等腰三角形的性質(zhì)定理及其證明。

教學難點用文字語言敘述的幾何命題的證明及輔助線的添加。

達標進程

教學內(nèi)容

教師活動

學生活動

一、前置診斷，開辟道路

1、什么樣的三角形叫做等腰三角形？2、指出等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角。

首先教師提問了解前置知識掌握情況。

動腦思考、口答。

二、構(gòu)設懸念，創(chuàng)設情境

1、一般三角形有哪些性質(zhì)？

2、等腰三角形除具有一般三角形的性質(zhì)外，還有那些特殊性質(zhì)？

把問題作為教學的出發(fā)點，激發(fā)學生的學習興趣。

問題2給學生留下懸念。

三、目標導向，自然引入

本節(jié)課我們一起研究——等腰三角形的性質(zhì)。

板書課題

了解本節(jié)課的學習內(nèi)容。

四、設問質(zhì)疑，探究嘗試

請同學們拿出準備好的等腰三角形，與教師一起按照要求，把兩腰疊在一起。

[問題]通過觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

[結(jié)論]等腰三角形的兩個底角相等。

板書學生發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

[問題]可由學生從多種途徑思考，縱橫聯(lián)想所學知識方法，為命題的證明打下基礎。

[辨疑]由觀察發(fā)現(xiàn)的命題不一定是真命題，需要證明，怎樣證明？

[問題]1、此命題的題設、結(jié)論分別是什么？

2、怎樣寫出已知、求證？

3、怎樣證明？

[電腦演示1]

[投影學生證明過程，并由其講述]

從而引出定理等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）

通過電腦演示，引導學生全面觀察，聯(lián)想，突破引輔助線的難關，并向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

引出學生探究心理，迅速集中注意力，使其帶著濃厚的興趣開始積極探索思考。

繼續(xù)觀察圖形

[問題]1、指出全等三角形中還有哪些

對應邊、對應角相等？

2、等腰三角形的頂角的平分線又有什么性質(zhì)？

設問、質(zhì)疑

小組討論，歸納總結(jié)，培養(yǎng)學生概括數(shù)學材料的能力。

教學內(nèi)容

教師活動

學生活動

[辨疑]一般三角形是否具有這一性質(zhì)呢？

[電腦演示2]

從而引出推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊，并且垂直于底邊.

“三線合一”性質(zhì)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

[填空]根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理的推論，在ABC中

（1）AB=AC，ADBC，

∠＿=∠＿，＿=＿；

（2）AB=AC，AD是中線，

∠＿=∠＿，＿＿；

（3）AB=AC，AD是角平分線，

＿＿，＿=＿。

通過電腦演示，引出推論1，并引入[填空]、強調(diào)推論1的運用方法。

電腦演示給學生對推掄1留下深刻印象，并通過[填空]了解推論1的運用方法。

五、變式訓練，鞏固提高

達標練習一

A組：根據(jù)等腰三角的形性質(zhì)定理

(1)等腰直角三角形的每一個銳角都等于多少度？

(2)若等腰三角形的頂角為40°，

則它的底角為多少度?

(3)若等腰三角形的一個底角為40°,則它的頂角為多少度?

B組：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理

(1)若等腰三角形的一個內(nèi)角為40°,則它的其余各角為多少度?

(2)若等腰三角形的一個內(nèi)角為120°,則它的其余各角為多少度?

(3)等邊三角形的三個內(nèi)角有什么關系?各等于多少度?

從而引出推論2等邊三角形的各角都相等,并且每一個角都等于60°.

題目設計遵循由易到難的原則，引導學生拾階而上。溝通等腰三角形的性質(zhì)定理和三角形內(nèi)角和定理的聯(lián)系，并引出推論2。

A組口答練習

B組討論后回答。

掌握等腰三角形性質(zhì)定理的應用，訓練學生的類比思維，讓學生獲得從問題中探索共同的屬性和規(guī)律的思維能力。

教學內(nèi)容

教師活動

學生活動

達標練

A組：等腰三角形斜邊上的高把直角分成兩個角，求這兩個角的度數(shù)。

B組：已知：如圖，房屋的頂角∠BAC=100°。求頂架上∠B、∠C、

∠BAD、∠CAD的度數(shù)。

理論聯(lián)系實際,

充分體現(xiàn)數(shù)學解決實際問題的作用,培養(yǎng)學生的應用意識,提高數(shù)學修養(yǎng)。

A組口答

B組獨立解答.

加深理解定理及推論1，能初步靈活地運用它們進行計算和論證。

布置作業(yè)：1、看書：P1——P3

2、課本P5想一想

教案設計說明

本節(jié)課是在學生掌握了一般三角形基礎知識和初步推論證明的基礎上進行學習的，擔負著訓練學生會分析證明思路的任務，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)是今后論證兩角相等的依據(jù)之一，等腰三角形底邊上的三條主要線段重合的性質(zhì)是今后論證兩條線段相等、兩個角相等及兩條直線垂直的重要依據(jù)。因此設計時，我分別從幾個方面作了精心策劃：

1、創(chuàng)設豐富的舊知環(huán)境，有利于幫助學生找準新舊知識的連接點，喚起與形成新知相關的舊知，從而使學生的原認知結(jié)構(gòu)對新知的學習具有某種“召喚力”。

2、提供可探索性的問題，合理的設計實驗過程，創(chuàng)造出良好的問題情境，不斷地引導學生觀察、實驗、思考、探索，使學生感到自己就象科學家那樣提出問題、分析問題、解決問題，去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，證實結(jié)論。發(fā)揮學生學習的主觀能動性，培養(yǎng)學生的探索能力、科學的研究方法、實事求是的態(tài)度。

篇2

所以AC2-AD2=（AO2+OC2）-（AO2+OD2）=OC2-OD2=（OC+OD）（OC-OD）=CD（OC-OD）．

又因為AB=AC，AOBC，所以OC=OB.所以AC2-AD2=CD（OB-OD）=BD?CD．

圖1 圖2推論:如圖2，ABC中，AB=AC，D為BC延長線上任意一點，則AD2-AC2=BD?CD．

證明 延長CB到E，使BE=CD，連接AE.易證ABE≌ACD，于是AE=AD，所以AED是等腰三角形.由上面的性質(zhì)得AD2-AC2=EC?CD=（EB+BC）?CD=（CD+BC）?CD= BD?CD．

應用這個性質(zhì)，可證明一類幾何題：a2-b2=cd型證明題.若題中線段符合a2-b2=cd，有平方差，則可以a為腰構(gòu)造等腰三角形，使底邊落在直線c或d上，運用該性質(zhì)求解.舉例如下：

圖3例1 如圖3，已知：在ABC中，AB=AC，延長BC到D，使CD=CB.求證：AD2=AB2+2BC2．

證明 由推論得AD2=AC2+BD?CD=AB2+2BC?BC=AB2+2BC2．

圖4例2 ABC的角平分線AD的延長線交外接圓于點E.求證：AE2-BE2=AB?AC．

證明 如圖4，作EF=EA，交AB延長線于點F，即構(gòu)造等腰EAF．

由性質(zhì)得AE2-BE2=AB?BF.連接EC.因為AE平分∠BAC，EF=EA，所以∠EAC=∠BAE=∠F，BE=EC.又因為∠FBE=∠ECA，所以FBE≌ACE（AAS）.所以BF=AC.所以AE2-BE2=AB?AC．

例3 在ABC中，∠ACB=2∠ABC.求證：AB2=AC2＋AC?BC．

證明 如圖5，作AD=AB，交BC延長線于點D，即構(gòu)造等腰ABD．

由性質(zhì)得AB2=AC2＋BC?CD.因為AD=AB，所以∠B=∠D.所以∠ACB=2∠B=2∠D.而∠ACB=∠CAD+∠D，所以∠CAD=∠D，即有AC=CD.所以AB2=AC2＋AC?BC．

注 此題也可利用推論構(gòu)造等腰三角形求證．

圖5 圖6例4 如圖6，已知：ABC中，AB>AC，ADBC于D，E為BC中點.求證：AB2-AC2=2BC?DE．

證明 作AF=AB，交BC延長線于點F，由性質(zhì)得AB2-AC2=BC?CF．

因為AF=AB，ADBC，所以BD=DF.所以CF=BF-BC=2BD-2BE=2（BD-BE）=2DE.所以AB2-AC2=2BC?DE．

圖7例5 如圖7，已知：ABC中，D在BC上，AB2-AC2=BD2-DC2.求證：AD是ABC的高．

證明 作AE=AC，交BD于點E，由推論得AB2-AE2=BE?BC，即AB2-AC2=BE?BC．

因為AB2-AC2=BD2-DC2，所以BE?BC=BD2-DC2=（BD+DC）（BD-DC）=BC（BD-DC）.所以BE=BD-DC.而BE=BD-ED，所以ED=DC.又因為AE=AC，所以ADEC.所以AD是ABC的高．

注 此題也可利用性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形求證．

作者簡介:鄧文忠，男，1974年出生，中學一級教師，縣級名師，主要研究解題教學和數(shù)學競賽，20多篇.

打破常規(guī)，整體求值

——一道填空題引發(fā)的思考

甘肅省武威第十中學 733000 陳國玉

1 問題的來源

期末復習中，模擬試卷中有這樣一道填空題：已知方程組x+2y=3

2x+y=6，則x＋y= ，x－y= .我問同學們是如何解答的，同學們都說是通過解方程組，先求出方程組的解x=3

y=0，再代入求x＋y和x－y中求值.我問不解方程組，可以直接求出結(jié)果嗎？同學們先是一怔，再仔細觀察方程組中各個未知數(shù)的系數(shù)，恍然大悟：將兩個方程相加，可得3x＋3y=9，方程兩邊都除以3可得x＋y=3；將第二個方程減去第一個方程可得x－y=3.同學們的興趣突然被激起，課堂氛圍一下子活躍了，不禁為這種解法喝彩、叫好，有些同學還躍躍欲試．

課后我深思：能否將一般形式的二元一次方程組，不解方程組，通過上述方法，得到x＋y或x－y的值呢？

2 問題的解決

例1 已知方程組3x-5y=6

2x+3y=8 ，求x＋y和x－y的值．

顯然，將原方程組中的兩個方程直接相加（或相減），不可能得到（x＋y）或（x－y）的整數(shù)倍，也就得不到x＋y或x－y值．

起初，我想在原方程組中的一個方程（或兩個方程）中乘以一個適當?shù)臄?shù)，然而通過相加（或相減）這兩個方程來達到目的，但是，這個“適當”的數(shù)又如何確定呢？

后來我是這樣想的：將這個方程組中的兩個未知數(shù)的和（或差）看成一個整體，在原方程組中，“拼湊”出這個整體，通過解方程組求出這個整體的值．

下面就以上例說說這種“拼湊整體法”．

解 將原方程組變形，

得3(x+y)-8y=6 ①

2(x+y)+y=8 ②

由②×8得， 16（x＋y）＋8y=64. ③

由③＋①得，19（x＋y）=70，所以x＋y=7019．

將原方程組變形，得3(x-y)-2y=6 ①

2(x-y)+5y=8 ②

由①×5＋②×2得， 19（x－y）=46，所以x－y=4619．

3 拓展應用

3.1 利用這種“拼湊整體法”解決方程組中的一些求值題

例2 已知關于x、y的方程組3x+2y=5a

4x-3y=2 的解滿足x＋y=4，求a的值．

分析 將原方程組的兩個方程“拼湊”出“x＋y”這個整體，通過解這個方程組求出“x＋y”這個整體的值，然后再利用已知的“x＋y”的值構(gòu)造方程，解之即可．

解 將原方程組變形為

3(x+y)-y=5a ①

4(x+y)-7y=2 ②

由①×7得， 21（x＋y）－7y=35a. ③

由③－②得，17（x＋y）=35a－2. ④

把x＋y=4代入④，得17×4=35a－2，解得a=2．

例3 已知關于x、y的方程組x+2y=k

3x+5y=k-1 的解x、y的差是7，求k2－2k＋1的值．

分析 將原方程組的兩個方程“拼湊”出“x－y”這個整體，通過解這個方程組求出“x－y”這個整體的值，然后再利用已知的x－y=7的值構(gòu)造方程，求出k的值代入即可．

解 將原方程組變形為

(x-y)+3y=k ①

3(x-y)+8y=k-1 ②

由①×8得， 8（x－y）－24y=8k. ③

由②×3得，9（x－y）＋24y=3k－3. ④

由④－③得，x－y=－5k－3. ⑤

把x－y=7代入⑤得，7=－5k－3，解得k=－2．

把k=－2代入k2－2k＋1中得，原式=（－2）2－2×（－2）＋1=9．

3.2 解決不等式組中待定字母的取值范圍

例4 若方程組3x-2y=m+2

2x+y=m-5的解滿足－1＜x＋y＜1，求m的取值范圍．

分析 用“拼湊整體法”求出x＋y值，然后建立不等式組，解之即可．

解 將原方程組進行變形得，

3(x+y)-5y=m+2 ①

2(x+y)-y=m-5 ②

由②×5－①得，7（x＋y）=4m－27，所以x＋y=4m-277．

因為－1＜x＋y＜1，所以4m-277>-1

4m-277

例5 已知方程組5x+2y=2

4x-7y=a-3的解為x、y，當a為何值時，x＞y？

分析 用“拼湊整體法”求出x－y值，將x＞y變形為x－y＞0，然后建立不等式，解之即可．

解 將原方程組變形為

5(x-y)+7y=2 ①

4(x-y)-3y=a-3 ②

由①×3＋②×7得，43（x－y）=7a－15，解得x－y=7a-1543．

篇3

1、等腰直角三角形的性質(zhì)：

等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一個角是直角），也是特殊的直角三角形（兩條直角邊等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)（如三線合一、勾股定理、直角三角形斜邊中線定理等）。

當然，等腰直角三角形同樣具有一般三角形的性質(zhì)，如正弦定理、余弦定理、角平分線定理、中線定理等。等腰直角三角形三邊比例為

2、等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，有一個角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一種特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性質(zhì)，同時又具有所有直角三角形的性質(zhì)。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

篇4

（1）等腰三角形的概念。

（2）等腰三角形的性質(zhì)。

（3）等腰三角形的概念及性質(zhì)的應用。

2.能力訓練要求

（1）經(jīng)歷作（畫）出等腰三角形的過程，從軸對稱的角度去體會等腰三角形的特點。

（2）探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)。

【教學重點】

1.等腰三角形的概念及性質(zhì)。

2.等腰三角形性質(zhì)的應用。

【教學難點】

等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應用。

【教學方法】

探究歸納法。

【教學過程】

Ⅰ.提出問題，創(chuàng)設情境

1.復習軸對稱和軸對稱圖形的知識。

2.三角形是軸對稱圖形嗎？什么樣的三角形是軸對稱圖形？

Ⅱ.導入新課，合作探究

滿足軸對稱圖形條件的三角形是軸對稱圖形――等腰三角形。

1.你會畫等腰三角形嗎？學生動手，教師適當提示，并演示。

2.等腰三角形有什么性質(zhì)？（提示：可從以下幾個方面探索：A.等腰三角形是軸對稱圖形嗎？請找出它的對稱軸.B.等腰三角形的兩底角有什么關系？C.頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？D.底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？底邊上的高所在的直線呢？）

經(jīng)過學生的探索、歸納及提示，我們得出等腰三角形的性質(zhì)。

等腰三角形的性質(zhì)：

（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。

（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）。

你會證明這些性質(zhì)嗎？教師引導學生進行規(guī)范的證明。

看我大顯身手：

1.如圖，在ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度數(shù)。

2.在等腰ABC中，AB=AC，∠B=75°，求∠A和∠C的度數(shù)。

3.在等腰三角形中，已知兩邊的長為3 cm和4 cm，求它的周長。

Ⅲ.隨堂練習

1.課本P51練習1、2、3。

2.解答下列各題。

（1）在等腰三角形中，有一個角為75°，求其余兩角的度數(shù)。

（2）在等腰三角形中，已知兩邊的長為4 cm和5 cm，求它的周長。

（3）在等腰三角形中，已知兩邊的長為8 cm和3 cm，求它的周長。

Ⅳ.課堂小結(jié)

1.知識小結(jié)

等腰三角形的定義、等腰三角形的性質(zhì)。

2.學習技能小結(jié)

探究學習、合作學習、實踐能力等。

Ⅴ.課后作業(yè)

1.課本P56第1，4，7題。

篇5

A.15°，45° B.35°，35° C.40°，40° D.60°，60°

知識點：等腰三角形的性質(zhì)。

題型：計算題，分類討論。

分析：因為沒有指明這個角是頂角還是底角，所以應該分兩種情況進行分析。

解：①當110°是頂角時，底角=（180°-110°）÷2=35°；②當110°是底角時，另一底角也是110°，因為110°+110°>180°，所以不符合三角形內(nèi)角和定理即不能構(gòu)成三角形。故選B。

點評：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，注意利用三角形內(nèi)角和定理進行檢驗。

例2 小華要畫一個有兩邊長分別為7cm和8cm的等腰三角形，則這個等腰三角形的周長是（ ）。

A.16cm B.17cm C.22cm或23cm D.11cm

知識點：等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關系。

題型：應用題。

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題可分情況討論。腰長為7cm或者腰長為8cm。

解：根據(jù)等腰三角形的概念，有兩邊相等，因而可以是兩條邊長為7或兩條邊長為8。當兩條邊長為7時，周長=7×2+8=22cm；當兩條邊長為8時，周長=8×2+7=23cm。故選C。

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系。沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形。

例3 （2009?黔東南州）如圖，在ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，則∠A等于（ ）。

A.30° B.40°

C.45° D.36°

知識點：等腰三角形的性質(zhì)。

分析：題中相等的邊較多，且都是在同一個三角形中，因為求“角”的度數(shù)，將“等邊”轉(zhuǎn)化為有關的“等角”，充分運用“等邊對等角”這一性質(zhì)，再聯(lián)系三角形內(nèi)角和為180°求解此題。

解：BD=AD ∠A=∠ABD

BD=BC ∠BDC=∠C

又∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A

∠C=∠BDC=2∠A

AB=AC ∠ABC=∠C

又∠A+∠ABC+∠C=180°

∠A+2∠C=180°

把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A=180°，解得∠A=36°。

故選D。

點評：本題反復運用了“等邊對等角”，將已知的等邊轉(zhuǎn)化為有關角的關系，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角和及三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)求解有關角的度數(shù)問題。

例4 若等腰三角形的底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分成的兩部分之差為3cm，則腰長為（ ）。

A.8cm B.2cm C.2cm或8cm D.以上全不對

知識點：等腰三角形的性質(zhì)。

題型：計算題。

分析：此題可由題意得出兩種情況，此等腰三角形腰長與底邊長之差為3cm，或底邊長與腰長之差為3cm。再根據(jù)關系解出即可。

解：等腰三角形一腰上的中線把其周長分成的兩部分之差為3cm。

可知有兩種情況：此等腰三角形腰長與底邊長為之差為3cm，或底邊長與腰長之差為3cm。

底邊長為5cm。

其腰長為2cm或8cm。

三角形兩邊之和要大于第三邊，可是如果要為2，則2+2

故選A。

點評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形中線的性質(zhì)。注意在這里因為它沒有強調(diào)誰減誰等于3cm，所以必須分為兩種情況去分析討論。

例5 如圖，在ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點P，PD∥AB，PE∥AC，分別交BC于點D、E，且BC=7cm，則PDE的周長為（ ）。

A.7cm B.8cm

C.9cm D.10cm

知識點：平行線的性質(zhì)。

分析：可利用角平分線的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)得出∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠EPC，進而得出PD=BD，PE=CE，故可求解。

解：BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB

∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE

又PD∥AB，PE∥AC

∠ABP=∠BPD，∠APC=∠EPC

∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠EPC

PD=BD，PE=CE

PDE的周長為PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=7cm

故選A。

點評：考查平行線及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，能夠求解一些簡單的計算問題。

例6 等邊三角形角平分線、中線和高的條數(shù)共為（ ）。

A.3 B.5 C.7 D.9

知識點：等邊三角形的性質(zhì)。

題型：計算題。

分析：根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，可以求得等邊三角形每個內(nèi)角的角平分線和其對應邊的中線、高線重合，即可解題。

解：等邊三角形為特殊的等腰三角形，故每個內(nèi)角的角平分線和其對應邊的中線、高線均符合三線合一的性質(zhì)，故等邊三角形角平分線、中線和高的條數(shù)共3條。

篇6

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

等腰三角形的邊、角問題是初中數(shù)學教材中的重點內(nèi)容，在運用其性質(zhì)解決關于等腰三角形中的邊角問題時由于題目繁多，學生總覺得困難，尤其是學生在遇到等腰三角形“邊角計算問題”，“等腰三角形的各邊的取值范圍”和等腰三角形“三線合一”問題時經(jīng)常會出現(xiàn)這樣和那樣的問題，作為教師覺得頭痛，同時再加上等腰三角形的底邊垂直平分線和對稱軸之后，這樣就出現(xiàn)了“五線合一”，學生更覺得糊涂分不清了。

1有關等腰三角形的邊角計算的討論問題

1.1等腰三角形的邊的問題

（1）已知等腰三角形的一邊長為5cm，另一邊長為9 cm，則它的周長為多少？

（2）已知等腰三角形的一邊長為9cm，另一邊長為4 cm，則它的周長為多少？

分析時要分類考慮，是否構(gòu)成三角形，若構(gòu)成在求周長，否則就沒有。

第（1）題：5、5、9或5、9、9都能構(gòu)成等腰三角形，所以周長為19 cm或23 cm；

第（2）題：4、4、9構(gòu)不成三角形，而4、9、9能夠成等腰三角形，此周長為22 cm。

（3）等腰三角形的一個角為400，它的另外兩個角為多少？

（4）等腰三角形的一個角為1000，它的另外兩個角為多少？

分析時也要分類考慮：

第3題：當400為頂角時，另外兩個角分別為700，700；當400為底角時，另外兩個角為400，1000。

第4題：當1000為頂角時，另外兩個角分別為400，400；當1000為底角時，就構(gòu)不成三角形。

1.2如何確定“等腰三角形的各邊的取值范圍”的問題

1.2.1已知等腰三角形的周長，如何確定腰長和底邊長的取值范圍

為了學生便于理解和掌握，筆者在教學中，做一個等腰三角形的教具：用兩條相等的木條AB、AC做等腰三角形的兩腰，用一條橡皮筋BC做等腰三角形的底邊，做成一個等腰ABC。

操作方法：先從等腰ABC的頂點A上拉，要求兩腰AC、AB重合，使底邊BC為零。兩腰之和與等腰三角形的周長相等，每一條腰等于周長的1/2，為了保證三角形的成立，必須每一條腰小于周長的1/2，必須大于零；然后將等腰ABC的底角的頂點B、C拉直，兩腰之和等于底邊，即底邊等于周長的1/2，為了保證三角形的成立，必須底邊小于周長的1/4，底邊必須大于零，否則不能構(gòu)成三角形。所以有以下的結(jié)論：

（1）腰的取值范圍

等腰三角形的腰的取值范圍這樣確定比較簡便：腰長小于等腰三角形周長的1/2，必須大于周長的1/4。

例如：等腰三角形的周長為20厘米，試確定等腰三角形的腰的取值范圍？

分析：設等腰三角形的腰長為X厘米

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（2）底邊取值范圍

等腰三角形的底邊的取值范圍這樣確定比較簡便：底邊長小于等腰三角形周長的1/4，且大于零。

例如：等腰三角形的周長為20厘米，試確定等腰三角形的底邊的取值范圍？

分析：設等腰三角形的底邊長為X厘米

1.2.2已知等腰三角形的腰長，如何確定底邊長的取值范圍

根據(jù)三角形的三邊不等關系可知：底邊長大于零而小于腰長的兩倍。

例如：等腰三角形的腰長為15厘米，試確定等腰三角形的底邊的取值范圍？

分析：設等腰三角形的底邊長為X厘米

1.2.3已知等腰三角形的底邊長，如何確定腰長的取值范圍

根據(jù)三角形的三邊不等關系可知：腰長大于底邊長的1/2即可。

例如：等腰三角形的底邊長為18厘米，試確定等腰三角形的腰長的取值范圍？

分析：設等腰三角形的腰長為X厘米

X>18/2，即X>9。所以：等腰三角形的底邊長的取值范圍是X>9。

2等腰三角形中“五線合一”

（1）等腰三角形中的“五線”指的是等腰三角形的頂角平分線AD、底邊上的中線AD、底邊上的高AD、底邊上的垂直平分線MN和對稱軸MN。

（2）等腰三角形中的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高指的是線段。

如圖：線段AD是等腰三角形頂角∠BAC的平分線，底邊BC上的高線，也是底邊BC上的中線。

（3）等腰三角形的底邊垂直平分線和對稱軸指的是直線。

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反證法是一種特殊的證明方法.在證明時，不是直接證明命題的結(jié)論，而是先提出與結(jié)論相反的假設，然后推導出矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論成立，這種方法叫反證法.

運用反證法證明問題時，結(jié)論的反面要找得準確、全面，證明的每一步要有依據(jù)，直到推出與“定義、定理、基本事實、已知條件”等相矛盾.

2. 等腰三角形

（1） 等腰三角形的主要性質(zhì)有：等邊對等角；等腰三角形的三線合一性；等邊三角形的每個內(nèi)角都等于60°；到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；等等.應用性質(zhì)可以簡捷地證明三角形中的線段或角的相等、線段的垂直等.

（2） 判定一個三角形是等腰三角形，除了利用定義外，也可以利用等腰三角形的判定定理：等角對等邊.等邊三角形是特殊的等腰三角形，其判定方法有：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，這時60°的角是頂角還是底角都無妨.

（3） 關注“分類討論”的數(shù)學思想方法.因為等腰三角形中有兩邊相等，有兩角相等，所以當“邊”或“角”元素不確定時，就需要分類討論.

3. 直角三角形

直角三角形是一種特殊的三角形，因此學習時要特別注意對其特殊性質(zhì)的理解和應用.如“直角三角形的兩個銳角互余”是一般三角形所不具備的；“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”，這個性質(zhì)反映出任何一個直角三角形斜邊上的中線把它分成兩個等腰三角形，因此，學習直角三角形時必須與等腰三角形緊密結(jié)合；“30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半”這一性質(zhì)，不是任何直角三角形所具有的.

直角三角形與等腰三角形的密切關系還表現(xiàn)在：以任意直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸，得到的軸對稱圖形，一定是一個等腰三角形.同時任意等腰三角形的底邊上的高，一定分它為兩個全等的直角三角形.這種關系使我們能更好地理解和掌握“斜邊直角邊定理”.

4. 平行四邊形、矩形、菱形、正方形

這些圖形的概念重疊交錯，容易混淆，常常出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象，所以它們之間的聯(lián)系和區(qū)別是本章學習的難點.分清這些四邊形的從屬關系，梳理它們的性質(zhì)和判定方法，是克服難點的關鍵.它們之間的聯(lián)系與區(qū)別可通過下圖表示：

5. 在“等腰梯形的性質(zhì)定理和判定定理”探究中運用的數(shù)學方法

等腰梯形的性質(zhì)和判定的探究是建立在等腰三角形和平行四邊形基礎上的，所以可通過添加輔助線的方式將等腰梯形轉(zhuǎn)化為等腰三角形和平行四邊形，常見輔助線如下：

通過“轉(zhuǎn)化”，我們得到了等腰梯形的性質(zhì)定理：等腰梯形同一底上的兩底角相等；等腰梯形的對角線相等.等腰梯形的判定定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形.

6. 三角形的中位線定理

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知識點1 等腰三角形的兩個底角相等

【透析】 應用等腰三角形的性質(zhì)定理證明兩個角相等時，必須是這兩個角在同一個三角形中，否則結(jié)論不一定成立.

知識點2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合

【透析】 這個定理簡稱為“三線合一”，應用的前提條件是三角形必須為等腰三角形. 在解決有關等腰三角形的問題中，經(jīng)常需要添加輔助線，雖然等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，但是如何添加輔助線要由具體情況來決定，作輔助線時只需作出一條，再根據(jù)性質(zhì)得出另外兩條.

知識點3 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

【透析】 此定理是直角三角形全等的判定定理，只能用在直角三角形中，對于一般三角形是不成立的. 證明中，主要涉及兩種方法：圖形的“拆”（把一個等腰三角形拆成兩個全等的直角三角形）和“拼”（把兩個全等的直角三角形拼成一個等腰三角形），體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，即把待證的問題轉(zhuǎn)化為可證的問題.

知識點4 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

【透析】 這里的“距離”是指“點到直線的距離”，因此在應用時必須含有“垂直”這個條件，否則不能得到線段相等.

知識點5 菱形的性質(zhì)

【透析】 菱形也是特殊的平行四邊形，它也具有平行四邊形的所有性質(zhì)，它的獨特性質(zhì)主要體現(xiàn)在：（1） 4條邊都相等，對角線互相垂直；（2） 菱形的對角線把菱形分成4個全等的直角三角形；（3） 計算菱形的面積除利用平行四邊形的面積的計算公式外，當a，b分別表示兩條對角線的長時，菱形的面積為s=ab.

知識點6 矩形的判定

【透析】 矩形的每種判定方法都必須有兩個條件. （1） 定義判定：① 平行四邊形；② 有一個角是直角. （2） 判定定理1：① 平行四邊形；② 對角線相等. （3） 判定定理2：① 四邊形；② 有3個角是直角.

知識點7 菱形的判定

【透析】 若已知的四邊形是平行四邊形，要證它是菱形，需要證它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；當四邊形是一般的四邊形，要證它是菱形，可以證它的四條邊相等或先證它是一個平行四邊形，再證它是菱形.

知識點8 正方形的判定

【透析】 判定一個四邊形是正方形的主要途徑有兩條：（1） 先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；（2） 先證它是菱形，再證有一個角是直角或?qū)蔷€相等.

知識點9 等腰梯形的判定

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那是一個非常晴朗的早上，我?guī)е约簻蕚浜玫慕贪负驼n件，帶著笑容走入了課堂。

我今天準備講解的內(nèi)容是《等腰三角形》，重點講解的是等腰三角形的性質(zhì)。在上課開始的時候，我一直按照自己準備好的內(nèi)容有條不紊的進行著講解。我先是為學生介紹了等腰三角形性質(zhì)的重要作用，讓學生充分的理解在平面圖形、立體圖形中這部分知識的重要性還引導學生認識到在實際生活、建筑、測量等方面，這些知識都會被廣泛的運用，這節(jié)課的知識對于之前全等三角形具有深化作用，更是以后平行四邊形定理的基礎，在整個知識體系中具有承上啟下的作用，于是我先是將這部分的知識的重要性傳授給學生。在分析學情之后，我開始了正式授課的環(huán)節(jié)。我在導入的環(huán)節(jié)采取的是溫故而知新的策略，讓學生回顧已經(jīng)學習到的知識，什么是軸對稱圖形？在學生回答問題之后，我在課件上展示一些美麗的圖片，有上海世博會展館的圖片、有云南特色民居的圖片，這些圖片中都有一些比較明顯的特點就是其中都有等腰三角形，引導學生觀察出其中的特點。然后引導學生說出自己在實際的生活中聽到或者見過的等腰三角形，例如金字塔、鐵塔的結(jié)構(gòu)，三腳架等等。在學生對等腰三角形形成基本認識的基礎上，教師提出問題，什么是等腰三角形，你如何判斷一個三角形是等腰三角形？在學生思考之后，我引進了本節(jié)課的重點知識，等腰三角形的性質(zhì)。在將這節(jié)課的知識引入之后，我開始按照教學設計一點點的講解教學內(nèi)容。因此，在我上課開始的時候，就拿出來一個三角形的模型，讓學生判斷這個三角形是否為等腰三角形，你是怎么判斷的呢？學生若是想要解決這個問題，就必須明確等腰三角形的概念，然后才能夠指導怎么進一步的操作得出結(jié)論與答案，這就需要學生深層次的思考，需要師生之間與生生之間的互動，有的學生回答可以運用測量的方法，看看其中兩邊是否是相等的，有的學生說可以采取折疊的方法，將三角形折疊出來，看看其中兩邊是否會重疊與重合，這些方法都可以監(jiān)測出來。接著教師在提出一個問題，同學們?nèi)绾螜z查自己的課桌是水平的呢？有的學生說看看桌子的幾條腿是不是一樣長的，有的學生說看看桌子晃不晃就知道了……這個時候我準備了事先準備的測評儀，這種儀器是等腰三角形，其中三個頂點分別是ABC，底邊是BC，D是BC上的中點，在A上掛一鉛錘，當點D在鉛垂線上時，則被測面水平：否則，被測面不平。這個時候?qū)W生感覺很神奇，學習的興趣被激發(fā)起來，積極性、主動性不斷提升。這個時候，我剛要接著講解三角形的知識，這個時候，一個學生突然提出了一個非常尖銳的問題，他說為什么這種測平儀必須要求是等腰三角形的呢？測平儀的科學依據(jù)又是什么呢？這種測平儀真的是準確的么？這個時候課堂內(nèi)部炸開了鍋，學生紛紛的討論起來，對測平儀這種東西產(chǎn)生了極大的興趣，課堂一時之間不受我的控制，與我自己的教學計劃也相去甚遠，我的內(nèi)心一陣煩躁，覺得這個同學真的是無事生非，我們要學習的是等腰三角形的知識，為什么提出一些不相關的問題呢？但是沒有辦法，作為數(shù)學教師，需要從學生的實際出發(fā)，解決學生的實際問題。于是我改變了原來直接進入等腰三角形性質(zhì)講解的環(huán)節(jié)，引導學生采取小組合作討論的方式進行學習，并且將知識再一次帶到等腰三角形的性質(zhì)上來。我又一次的提出問題，大家都認為等腰三角形是一種特殊的三角形，那么他特殊在哪里呢？學生這個會后感覺到自己心里明白怎么回事，又不太會用語言描述出來，然后就采取小組合作的方式進行研究與探討。我將學生劃分為四個人為一組的學習小組。讓他們觀察課前我準備好的三角形，每個小組進行討論，學生一致的出來的結(jié)論是等腰三角形一定是對稱的，對稱軸就是AD這條線，為了學生更直觀的體驗，我將課件中的幾何畫板運用到，將等腰三角形的對稱軸以及如何對稱的動態(tài)展示出來，使學生之間形成共識。之后，我又讓學生自己做了一個等腰三角形，在畫一畫、折一折的過程中，感受等腰三角形的獨特性，讓學生對書中等腰三角形性質(zhì)的結(jié)論有著深刻的認識，對等腰三角形的兩個底角相等，等腰三角形的平分線、中線、高是重合的有著實踐上認知。本來是一位同學的問題，這個問題當初在我看來似乎是有些無理取鬧、無事生非的意思，與我本來的教學計劃也是相違背的，有一瞬間，我甚至是覺得這節(jié)課沒有辦法在進行下去了，甚至心中毫無頭緒，所以我采取學生小組討論合作的方式，為自己贏得了寶貴的時間，既然這個學生對測平儀有疑問，而測平儀又是本節(jié)課所學內(nèi)容的等腰三角形的體現(xiàn)，更能夠引導學生直觀的得出結(jié)論，于是我就從這個儀器出發(fā)，讓學生仔細的觀察，盡量將學生的注意力拉回到本節(jié)課需要學習到的內(nèi)容上。到此為止，學生的問題仍然是沒有得到解答，教師可以故作懸念的道：“只是知道等腰三角形的性質(zhì)還不夠，要想知道這種測平儀為什么有這種功能，我們還需要知道，等腰三角形的性質(zhì)該如何證明?！痹谶@部分知識的學習中，我和學生之間的互動多了起來，我先是利用計算機技術(shù)，進行動態(tài)的展示，讓等腰三角形的頂點沿著垂直的方向上下的移動，底下的兩個端點左右移動的幅度相同，底角變化的規(guī)律相同。同時，我又展現(xiàn)出任意一個三角形，將這個三角形的右端點向左平移，只有平移為等腰三角形的時候，三線才會重合。這會對學生產(chǎn)生直觀的感受，然后給學生幾分鐘的時間，讓給學生結(jié)合已學知識，結(jié)合已知條件，寫出證明的步驟。課程進行到這里，我已經(jīng)將等腰三角形的特點、等腰三角形的性質(zhì)、以及如何證明這些性質(zhì)傳授給學生，但是本節(jié)課的沖突還是沒有得到解決。測平儀的依據(jù)是什么？測平儀真的準確么？這個時候可以引導學生自己去思考、交流與討論，得出結(jié)論，同時復習鞏固本節(jié)課的知識，更讓學生明白運用已學知識，解決是實際問題的重要作用。

等腰三角形的內(nèi)容雖然看起來簡單，但是對于初中生來說，還是有點兒困難，我在教學中的教學設計，本來是打算沖突之后，直接進入到性質(zhì)的講解，將性質(zhì)傳授給學生，然后大量的習題反復訓練，沒有想到因為這位同學的“無事生非”，整個教學過程走向了更科學合理的道路，在本來的教學中，沒有注重學生數(shù)學精神與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，在這位同學的“無理取鬧”下，教學更注重學生的觀察、想象與實踐能力的提升。希望在以后的教學中，更多的學生“無事生非”，教學才能夠更科學，學生才能夠更好地追求真理。

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等腰三角形周長公式：三角形的周長等于三個邊的和，等腰三角形的周長等于底邊加二乘腰長。等腰三角形指至少有兩邊相等的三角形，相等的兩個邊稱為這個三角形的腰。另一邊叫做底邊。兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。

有一個角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一種特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性質(zhì)，同時又具有所有直角三角形的性質(zhì)。三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

（來源：文章屋網(wǎng) ）